GÖDEL KANITLAMASI

Matematikle ilgilenenlerin mutlaka okuması gereken bir diğer kitap: Gödel's Proof. Kitabın çevirisi Boğaziçi Üniversitesi Yayınlarından çıktı.

"Gerçek" matematikçilerin uğraştığı "gerçek" matematiğin neredeyse tamamen yararsız olduğu söylense de saf matematikle uğraşan Gottlob Frege, Georg Cantor ve Richard Dedekind herhangi bir yararlı makine icat etmemişler ama Batıda yeni bir düşünme tarzının temellerini atan bir araç sağlamışlardır. Çağlar boyunca matematiğin kesinlik, tutarlılık, tamlık gibi ideal beklentileri eksiksizce karşılayan bir bilim olduğu düşünüldü. Kesinlik, tutarlılık, tamlık gibi niteliklerin matematiğe yüklenmesinin en önemli nedeni, matematiğin aksiyomlardan türetilen doğru önermelerinin, yani teoremlerin kesin olarak kanıtlanabilir olmasıydı. Matematiğin teoremlerinin doğru iseler, doğrulukları kesinlikle kanıtlanabilen, doğru değilseler de, yine doğru olmadıkları kesin olarak kanıtlanabilen önermeler oldukları, dolayısıyla matematikte kesinlik ve tutarlılığın tam olarak egemen olduğı kabul edilmişti. Gödel'in kanıtlaması bu kabullerin ve beklentilerin doğru olmadığını yine matematikten yola çıkarak kesin olarak kanıtlamıştır. Whitehead ve Russell'ın matematiğin mantıksal temelleri konusundaki dev çalışması olan Principia Mathematica'yı ele alarak temellerin hep eksik kalacağını göstermiştir. Yani doğal sayılar aritmetiğini kapsayan bir biçimsel dizgede öyle önermeler vardır ki, bunların ne doğru ne de yanlış oldukları kanıtlanabilir. Ayrıca Gödel, doğal sayılar aritmetiğini kapsayan bir biçimsel dizgenin tutarlılığının, bu dizgenin kendi içinde kanıtlanamayacağını da kanıtlamıştır. Gödel kanıtlamasının sonuçları matematiğin kendi içsel sınırlılıkları olduğunu ortaya koymuştur. Gödel kanıtlaması mantık ve matematiğin dışına taşan felsefi sonuçlara da sahiptir. Matematiğin ve matematiksel nesnelerin aslî doğası, matematikle mantığın ilişkisi, vb. felsefi meseleleri yeni bir tartışma zeminine taşımıştır. Ayrıca postmodernite üzerine düşünce üreten felsefeciler de Gödel'e sık sık gönderme yapmakta ve bütünselci yaklaşımlara yöneltilen eleştirilerde Gödel'in çalışmalarından da destek bulduklarını düşünmekteler.

 

KİTAP'TAN DELİLLER

Eğer matematik ile ilgileniyorsanız "Proofs from THE BOOK" kitabını mutlaka okumalısınız. Kitabın Türkçe çevirisi İstanbul Bilgi Üniversitesi Yayınlarından çıktı. Kitabı takip edebilmek için üniversitede lisans düzeyinde aldığınız matematik dersleri yeterli olacaktır. 

Kitap'tan Deliller, çağının en üretken ve sıradışı bilim insanlarından olan ve matematikçiyi "kahveyi teoremlere dönüştüren bir makine" olarak tanımlayan, hayatını devamlı seyahat edip matematik va'zederek geçiren Paul Erdös'ün görüşlerini yansıtmaktadır. Ateist olmasına rağmen Tanrı'nın matematik teoremlerinin kanıtlarını tuttuğu bir "Kitab"a inanan Erdös, yazdığı 1500 makaleyle matematik tarihinin en verimli makale yayıncılarından biri olmuştur.  

MD-2013-I

Matematik dünyası dergisinin 2013-I sayısı çıktı. Abone olmak için bağlantıyı takip edin. Yeni sayının içeriğine buradan bakabilirsiniz. MD-2013-I sayısının giriş yazısını aşağıda alıntıladım:

Bir gün birinci sınıflara girdiğim bir dersten çıktım. Öğrenciler pek fena değillerdi doğrusu. Söylediklerimi dinliyor, not tutuyor, ilgileniyor, soru soruyor, üç aşağı beş yukarı bir öğrencinin yapması gereken her şeyi yapıyorlardı. Ama dersten umutsuz çıkmıştım. Çünkü dört yıl içinde o kadar çok şey öğrenmeleri gerekiyordu ki... Sadece bilgi olsa neyse... Bilginin ötesinde bakış açısı, yaklaşım, tavır, düşünme biçimi, alışkanlıklar, refleksler, analiz teknikleri, soyutlama yeteneği, farklı konular arasındaki ilişkiler, bilgiyi özümseme ve daha neler neler... Bütün bunları nasıl ve ne zaman öğretecektim? Mümkün değil... Umutsuz vaka! Yazık çocuklara... 

Bu olumsuz düşüncelere gark olmuş dalgın dalgın yürürken koridorda rastladığım bir mesteklaşım, - Hayrola, dedi, ne düşünüyorsun böyle?- Ne kadar çok şey bildiğimi... dedim!İkimiz de güldük.

Üniversitede öğrenciyken de, bir akademik yıl sonunda, yıl boyunca neler öğrendiğimi aklımdan şöyle bir geçirmiştim. O kadar çok şey öğrenmiştim ki... İnanamamıştım. Bir yıl içinde resmen beynim değişmişti. Başka bir kişiydim. Matematiği ve kendimi başka türlü algılıyordum artık. Bir yıl önceki kendimi cahil ve aptal buluyordum!

Süreç boyunca geçirdiğim değişikliklerin farkına varmamış, yıl sonunda kendimi sınava çekince anlamıştım. 

Bu öğrendiklerimi bir başkasına bir yılda anlatabilir miyim sorusuna kendi kendime olumsuz yanıt verdiğimi anımsıyorum.

Gerçekten de öğrendiklerimi bana bir öğretmemişti. Ben kendim öğrenmiştim.

Bugün geriye baktığımda, matematikte ne biliyorsam kendi kendime öğrendiğimi görüyorum. Kimseden bir şey öğrenmedim. Öğrenmem de mümkün değildi. Öğrendiğim şeyler öğretilecek cinsten şeyler değildi. Beyinlerinin nasıl çalıştığını anlayamadığım belki bir iki dahi hariç, sanırım bu dediğim her mesteklaşım için geçerlidir.

Sebat eden öğrencilerin hepsi imkansızı başarır ve kim dört kimi altı yıl içinde belli bir matematiksel olgunluğa ulaşır. 

Matematik işte böyle bir uğraş dalı. Başkasından bir şey öğrenilmiyor. Başkasından öğrenilecek şeyler yüzeysel olgulardan ibaret. 

Başkası ancak yol gösterebilir, salık verebilir, problem, makale, kitap önerebilir. Ama gerisi kişiye kalmış. 

Varsa yoksa biz yani! 

Bu da saatlerce masa başında oturmak, uzun uzun düşünmek, yalnızlık ve acı demek. 

Ve tabii ağaç yaşken eğilir. Bu dramatik beyin dönüşümü ancak belli yaşlarda mümkün. 

Özetle, tek başına ve şimdi! 

Ali Nesin 

MD-2012-IV

Matematik dünyası dergisinin 2012-IV sayısı çıktı. Abone olmak için bağlantıyı takip edin. Yeni sayının içeriğine buradan bakabilirsiniz. MD-2012-IV sayısının giriş yazısını aşağıda alıntıladım:

Gün geçmez ki bir gazeteci ya da televizyoncu bana eğitimde neden bu halde olduğumuzu sormasın.

Söylenecek o kadar çok şey var ki hangi birini söyleyeceğimi şaşırırım.

Baktım yanlışlarla başa çıkamıyorum, yöntem değiştirdim, doğruları bulayım bari dedim.

 İnanır mısınız bir tane doğru bulamadım.

Her şeyi değiştirin ama eğitimimizin şu özelliğine ne olur dokunmayın diyebileceğim tek bir husus bile yok. 

Bunun ancak tek bir anlamı olabilir: Eğitim sistemimiz reformla filan düzenlenebilecek durumda değildir. Kökten değişmeli. Yönetmeliklerle filan yetinmeyip tüm eğitim anlayışımızı, felsefemizi, eğitime bakışımızı, eğitimle ilgili her şeyimizi sorgulamalı ve tepeden tırnağa değiştirmeliyiz. Kısacası eğitim sistemimizde reform değil devrim yapmalıyız. Başka türlü bu eğitim sistemi düzelmez.

Okul binalarına bir göz atın. Okul binaları okuldan çok bir hapishaneyi andırmıyor mu? Böyle okullarda doğru eğitim yapılabilir mi?  Böyle okullara öğrenciler koşa koşa, güle oynaya gidebilirler mi? Mümkün mü? 

Matematik Köyü'nü kurmadan önce izin için çırpınıp dururken Milli Eğitim Müdürlüğü'ne gittik. Bize iki tip okul binası gösterdiler. İki türden biri olmalıymış!

Daha neler! Müdürlükten nasıl kaçtığımı bilmiyorum. Şirince'deki ilköğretim okulu bildiğimiz standart okullardan, bir beton yığını. Bahçesi bile. Hemen yanında da eski bir Rum binasından devşirme bir meyhane vardır. Yüksek tavanlı, iki katlı taş bir bina. Olağanüstü güzel. Kocaman bahçesinde devasa çam ağaçları yükselir. Meğer bu meyhane Rumlar zamanında köyün okuluymuş. Mübadeleden sonra ilkokulu bozup meyhane yapmışlar. okul niyetine de bildiğimiz ucube binalardan birini yapmışlar!

Galiba eğitim sistemimizi değiştirmeden önce ar duygumuzu geliştirmeliyiz! 

Ama yuvalara ve kreşlere dikkat ettiniz mi, ne kadar sevimliler. Rengarenk, davetkar, iç açıcı, kucaklayıcı, güven verici. Çünkü okul öncesi eğitim zorunlu olmadığından onlara karışmıyorlar!

Ah! İşte çözüm! Çözümü bulduk. Karışma! Serbest bırak!

Popülizmin tuzağına düşüp halkımız en iyisini bilir demeyeyim de, belli ki yetkililerden daha iyisini biliyor. Çoğu şey gibi eğitim de rekabete açık olsun. Başarılı okulları, öğretmenleri, binaları ödüllendir. Müfettişe bile ihtiyacınız kalmaz! 

Şu bir gerçek ki devlet yapısı hantal. Belki de öyle olmalı, bilmiyorum. Oysa toplum, teknoloji ve bilim çok çabuk değişiyor artık. Eğitimin de bu değişime ayak uydurması lazım. Devletin hantal yapısı yüzünden eğitim değişime ve ihtiyaçlara ayak uyduramıyor. 

Bir gün bu düşünceyi savunabileceğim aklıma bile gelmezdi.    

Ama akıl ve mantık bunu gerektiriyor. Karşı koymanın anlamı yok.

Ali Nesin

MD-2012-III

Matematik dünyası dergisinin 2012-III sayısı çıktı. Abone olmak için bağlantıyı takip edin. Yeni sayının içeriğine buradan bakabilirsiniz. MD-2012-III sayısının giriş yazısını aşağıda alıntıladım:

George Bernard Shaw’un meşhur sözüdür: “Pek az kişi yılda iki üç kez düşünür. Ben ise haftada bir iki kez düşünerek dünya çapında bir üne kavuştum!” Aaa ne güzel, biz de haftada birkaç kez düşünelim o zaman... diyesi geliyor insanın.

Çok çabalayıp da anlatamadığım zaman, çok çaresiz kaldığımda, bazen kendimi
tutamayıp öğrencilere “düşünün” diyorum!

Sanki düşünmeyi ben çok iyi biliyormuşumu geçtim, sanki biri bana düşün dese,
ne yapacağımı biliyormuşum gibi...

Birine kolunu kaldır deseniz, o kişi eğer isterse kolunu kaldırır. Kolu yoksa bile kolunu kaldırması için ne yapması gerektiğini bilir ve kolunu kaldırmaya çalışabilir. Koş dersin koşar, yürü dersin yürür, dur dersin durur. En azından ne yapması gerektiğini bilir. Ama “düşün” denildiğinde kişinin ne yapması gerekiyor? Düşünmek ne kadar iradeyle ilgili?
Düşün dediğim öğrenci,
- Düşünüyorum hocam! dese - ki diyor bazen - ne cevap vereceğim?
- Hayır, düşünmüyorsun! Öyle mi düşünülür!
- Ya nasıl düşünülür?
- Bak işte böyle düşünülür...
Keşke bu senaryonun devamını getirebilsem. Zaten devamını getirebilsem kitabını yazardım. Okuyanlar da böylece sayemde düşünmeyi öğrenirlerdi!

Nasıl düşünüleceğini bilmesem de düşünmek için neler gerektiğini aşağı yukarı biliyorum.

Düşünmek için her şeyden önce kavramlara ihtiyaç vardır, tabii bir de bu kavramlar arasındaki ilişkilere. Kavram olmadan düşünülecek şey de olmaz zaten.

Matematikte kavramlar ve aralarındaki ilişkiler simgelerle ifade edilir. Simgeler de düşünceyi kaydetmeye yarar. Böylece hafızanın yükü önemli miktarda azalır ve düşüncede daha derine inilir, derine inilmese de daha ileri gidilir. Düşünceyi kaydetmek, yani yazıya geçirmek, bir dereyi geçmek için su yatağına yerleştirilen taşlar gibidir, o taşlara basıp daha ileri gidilir. Hatta geri dönüp silgiyle taşları siler, daha sağlam taşlarla yepyeni bir güzergâh belirleyebiliriz.

Matematik dışındaki alanlarda simge dünyası o kadar gelişmemiştir. Gene de bildiğimiz harflerle düşünce kaydedilebilir. Formüllerin ifade gücünün yanına yaklaşamasa da bildiğimiz düzyazı da düşünceyi simgeyle kaydetmeye yarar.

Lise öğrencisiyken bir deneme yazacaktım. Her hafta yaptığımız bir şeydi de neme yazmak. O zamanlar tahrir denirdi. Konuyu unuttum şimdi ama “eğitim herkese lazım” filan gibi doğruluğu bariz olan oldukça sıkıcı bir konuydu. Geceli gündüzlü üç hafta uğraştım. Sonunu bağlayamıyor, istediğim sonuca bir türlü ula şa mı yordum, hep bir yerlerde bir eksiklik beliriyordu. Üç hafta sonunda bir şimşek çaktı beynimde, yanılıyormuşum meğer! Savunduğum tez yanlışmış! 

Yazmak doğru düşünmeye yetmeyebilir. Ama yazmadan da doğru düşünülemez.

Ali Nesin